题目内容

已知关于x的函数f（x）=x²+2ax+b（其中a，b∈R）
（Ⅰ）求函数|f（x）|的单调区间；
（Ⅱ）令t=a²-b．若存在实数m，使得 $数学公式$ 同时成立，求t的最大值．

解：（Ⅰ）∵f（x）=x²+2ax+b=（x+a）²-（a²-b）
∴①当a²-b≤0时，单调区间为：（-∞，-a]上为减，[-a，+∞）上为增；（2分）
②当a²-b＞0时，单调区间为： $\text{[math]}$ 减，
$\text{[math]}$ 增， $\text{[math]}$ 减， $\text{[math]}$ 增（5分）
（Ⅱ）因为：若存在实数m，使得 $\text{[math]}$ 同时成立，即为两变量对应的函数值都小于等于 $\text{[math]}$ 的两变量之间间隔不超过1，故须对a²-b和 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的大小分情况讨论
①当 $\text{[math]}$ 时，由方程 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ，
此时 $\text{[math]}$ ，不满足．（8分）
②当 $\text{[math]}$ 时，由方程 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$
此时 $\text{[math]}$ ，满足题意．（11分）
③当 $\text{[math]}$ 时，由方程 $\text{[math]}$ ，方程 $\text{[math]}$ 和解得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
此时由于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
所以只要 $\text{[math]}$ 即可，此时 $\text{[math]}$ ，综上所述t的最大值为 $\text{[math]}$ ．（16分）
分析：（Ⅰ）f（x）=（x+a）²-a²+b开口向上，但a²-b的正负不定，所以在取绝对值时要分类讨论．在每一种情况下分别求|f（x）|的单调区间．
（Ⅱ）存在实数m，使得 $\text{[math]}$ 同时成立，即为两变量对应的函数值都小于等于 $\text{[math]}$ 的两变量之间间隔不超过1，故须对a²-b和 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的大小分情况讨论，求出a²-b的取值范围，进而求得t的最大值．
点评：本题考查了数学上的分类讨论思想．分类讨论目的是，分解问题难度，化整为零，各个击破．