Question

14．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-sin\frac{π}{2}x，-3≤x≤0}\\{|lo{g}_{2}x|．x＞0}\end{array}\right.$，若方程f（x）=a有四个不同的解x₁，x₂，x₃，x₄，且x₁＜x₂＜x₃＜x₄，则x₃（x₁+x₂）+$\frac{1}{{x}_{3}^{2}{x}_{4}}$的取值范围为（　　）

• A． （-1，+∞）
• B． （-1，1）
• C． （-∞，1）
• D． [-1，1]

Answer 1

分析 作出函数f（x），得到x₁，x₂关于x=-1对称，x₃x₄=1；化简条件，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：作函数f（x）的图象如右，
∵方程f（x）=a有四个不同的解x₁，x₂，x₃，x₄，且x₁＜x₂＜x₃＜x₄，
∴x₁，x₂关于x=-1对称，即x₁+x₂=-2，
0＜x₃＜1＜x₄，
则|log₂x₃|=|log₂x₄|，
即-log₂x₃=log₂x₄，
则log₂x₃+log₂x₄=0
即log₂x₃x₄=0
则x₃x₄=1；
当|log₂x|=1得x=2或$\frac{1}{2}$，
则1＜x₄＜2；$\frac{1}{2}$＜x₃＜1；
故x₃（x₁+x₂）+$\frac{1}{{x}_{3}^{2}{x}_{4}}$=-2x₃+$\frac{1}{{x}_{3}}$，$\frac{1}{2}$＜x₃＜1；
则函数y=-2x₃+$\frac{1}{{x}_{3}}$，在 $\frac{1}{2}$＜x₃＜1上为减函数，
则故x₃=$\frac{1}{2}$取得最大值，为y=1，
当x₃=1时，函数值为-1．
即函数取值范围是（-1，1）．
故选：B．

点评 本题考查分段函数的运用，主要考查函数的单调性的运用，运用数形结合的思想方法是解题的关键．