Question

13．已知点A，B的坐标为（-1，0），（1，0），直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是-2．
（1）求点M的轨迹方程E；
（2）曲线E上有两个不同的动点P，Q，且AP⊥PQ，求点Q的横坐标的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设M（x，y），利用直线AM的斜率与直线BM的斜率的差为-2，建立方程，即可求得点M的轨迹C的方程；
（2）设点$P（x，1-{x^2}），Q（{x_0}，1-{x_0}^2）$，由题意AP⊥PQ，通过向量的数量积为0，列出方程，然后求解点Q的横坐标的取值范围．

解答 解：（1）设M（x，y），则kAM=$\frac{y}{x+1}$，kBM=$\frac{y}{x-1}$
∵直线AM的斜率与直线BM的斜率的差为-2，$\frac{y}{x+1}$-$\frac{y}{x-1}$=-2
∴y=1-x²（y≠0）（或x≠±1）．
（2）设点$P（x，1-{x^2}），Q（{x_0}，1-{x_0}^2）$，知$\overrightarrow{AP}=（x+1，1-{x^2}），\overrightarrow{PQ}=（{x_0}-x，{x^2}-{x_0}^2）$，
由题意可知1+（x-1）（x+x₀）=0从而${x_0}=-\frac{1}{x-1}-x$，
当x＞1时，${x_0}=-（\frac{1}{x-1}+x-1）-1≤-3$当x＜1时，${x_0}=-（\frac{1}{x-1}+x-1）-1≥1$，
由于x≠±1，且x₀≠±1，故x≠-1有${x_0}≠\frac{3}{2}$．
所以点Q的横坐标的取值范围是：$（-∞，-3]∪（1，\frac{3}{2}）∪（\frac{3}{2}，+∞）$．

点评 本题考查轨迹方程的求法，考查抛物线的定义，考查直线与圆的位置关系，正确运用抛物线的定义是关键．