Question

1．已知函数f（x）=xsinx+cosx+x²，则不等式$f（lnx）+f（ln\frac{1}{x}）＜2f（1）$的解集为（　　）

• A． （e，+∞）
• B． （0，e）
• C． $（0，\frac{1}{e}）∪（1，e）$
• D． $（\frac{1}{e}，e）$

Answer 1

分析 求出函数的导数，求出单调增区间，再判断函数的奇偶性，则不等式$f（lnx）+f（ln\frac{1}{x}）＜2f（1）$，转化为f（lnx）＜f（1）即为f|lnx|）＜f（1），则|lnx|＜1，运用对数函数的单调性，即可得到解集．

解答 解：函数f（x）=xsinx+cosx+x²的导数为：
f′（x）=sinx+xcosx-sinx+2x=x（2+cosx），
则x＞0时，f′（x）＞0，f（x）递增，
且f（-x）=xsinx+cos（-x）+（-x）²=f（x），
则为偶函数，即有f（x）=f（|x|），
则不等式$f（lnx）+f（ln\frac{1}{x}）＜2f（1）$，即为f（lnx）＜f（1）
即为f|lnx|）＜f（1），
则|lnx|＜1，即-1＜lnx＜1，解得，$\frac{1}{e}$＜x＜e．
故选：D．

点评 本题考查函数的单调性和奇偶性的运用：解不等式，考查导数的运用：判断单调性，考查对数不等式的解法，属于中档题和易错题．