Question

已知抛物线与双曲线有公共焦点．点是曲线C1，C2在第一象限的交点，且．

（1）求双曲线交点及另一交点的坐标和点的坐标；

（2）求双曲线的方程；

（3）以为圆心的圆M与直线相切，圆N：，过点P（1，）作互相垂直且分别与圆M、圆N相交的直线和，设被圆M截得的弦长为s，被圆N截得的弦长为t，问：是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．

 

Answer 1

（1）、，点A的坐标为或；（2）；（3）为定值.说明如下：设圆M的方程为：，因为圆M与直线相切，所以圆M的半径为.故圆M: .显然，当直线的斜率不存在时不符合题意，

所以直线的斜率存在，设的方程为，即.

设的方程为，即.

所以点到直线的距离为，点到直线的距离为，所以直线被圆M截得的弦长，直线被圆M截得的弦长，所以.

【解析】

试题分析：（1）由抛物线的焦点能求出双曲线交点及另一交点的坐标，由抛物线定义能求出点A的坐标；（2）由已知条件推导出，由此能求出双曲线的方程；（3）设圆M的方程为：，设直线的方程为，设的方程为，由此利用点到直线距离公式结合已知条件能求出是定值.

试题解析：（1）因为的焦点为，所以双曲线的焦点为、.设，由点在抛物线上，且，由抛物线的定义得，，即，所以，即，所以点A的坐标为或.

（2）由题意知，又因为点在双曲线上，由双曲线定义得：

，即，所以，故双曲线的方程为：.

（3）为定值.说明如下：

设圆M的方程为：，因为圆M与直线相切，所以圆M的半径为.故圆M: .显然，当直线的斜率不存在时不符合题意，

所以直线的斜率存在，设的方程为，即.

设的方程为，即.

所以点到直线的距离为，点到直线的距离为，所以直线被圆M截得的弦长，直线被圆M截得的弦长，所以.

考点：直线与圆锥曲线的综合问题．