Question

如图，三棱柱ABB₁-DCC₁中，BC⊥面ABB₁，∠ABB₁=90°，AB=4，BC=2，CC₁=2，棱CD上有一动点P，则△APC₁周长的最小值为（　　）

• A、4

  2

  +2

  6

• B、4

  5

  +2

  6

• C、3

  2

  +2

  6

• D、2

  2

  +4

  6

Answer 1

考点：多面体和旋转体表面上的最短距离问题

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：不妨令CP=a，则DP=4-a，分别在直角三角形ADC中求AP，在直角三角形C₁PC求出C₁P，在直角三角形C₁CA求出C₁A，然后相交求周长．将周长表示为参数a的函数，由于a∈[0，4]，在这个区间上求出周长的最小值即可．

解答：解：DC上有一动点P，令CP=a，则DP=4-a，
由于直三棱柱ABB₁-DCC₁中，∠ABB₁=90°，AB=4，BC=2，CC₁=2，
∴周长S=AP+C₁P+C₁A=

4+(4-a)2

+

4+a2

+

22+22+42

≥

[0-(-2)]2+(a-4)2

+

(0-2)2+(a-0)2

+2

6

其中是

[0-(-2)]2+(a-4)2

+

(0-2)2+(a-0)2

可以看作平面直角坐标系中（a，0）与两点（4，-2）以及（0，2）两点距离和的最小值，由图形中点（a，0）恰好是过两点（4，-2）与（0，2）的直线与x轴的交点时，上式的值最小．
两点（4，-2）与（0，2）的距离，其值为

16+16

=4

2

，故△APC₁周长的最小值为4

2

+2

6

．
故选：A．

点评：本题考点是点、线、面之间的距离，考查用勾股定理在直角三角形中求两点间的距离，解答本题的关键是找到所求线段存在的直角三角形，由于本题是一个直三棱柱且其两个侧面垂直，这为找出各求各边所在的直角三角形带来了方便．