Question

20．已知函数f（x）=2sin²x+sinx•cosx+cos²x，x∈R． 求：
（1）f（$\frac{π}{12}$）的值；
（2）函数f（x）的最小值及相应x值；
（3）函数f（x）的递增区间．

Answer 1

分析 （1）用三角函数的二倍角公式与和正弦的和差角公式将函数化简，再代值计算即可，
（2）根据化简后的解析式，即可求出最小值和对应的想值，
（3）由（1）的解析式，结合三角函数的单调性求函数的单调区间．

解答 解：f（x）=2sin²x+sinx•cosx+cos²x
=1+sin²x+sinx•cosx=1+$\frac{1-co2x}{2}$+$\frac{1}{2}$sin2x，
=$\frac{1}{2}$（sin2x-cos2x）+$\frac{3}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）+$\frac{3}{2}$．…（3分）
（1）f（$\frac{π}{12}$）=$\frac{1}{2}$（sin$\frac{π}{6}$-cos$\frac{π}{6}$）+$\frac{3}{2}$=$\frac{7}{4}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
（2）f（x）的最小值为$\frac{3}{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，此时2x-$\frac{π}{4}$=2kπ-$\frac{π}{2}$，
即x=kπ-$\frac{π}{8}$，k∈Z；…（8分）
（3）由-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，得：-$\frac{π}{8}$+kπ≤x≤$\frac{3π}{8}$+kπ，k∈Z．
∴函数f（x）的递增区间为[-$\frac{π}{8}$+kπ，$\frac{3π}{8}$+kπ]，k∈Z．…（12分）

点评 本题考查三角函数恒等变换化简函数解析式以及函数单调区间，考查的知识点点相当全面，知识性较强．