Question

若关于x，y，z的三元一次方程组

x+y+z=1 x+ysinθ+z=2 xsin2θ+ysinθ+z=3

有唯一组解，则θ的集合是

{θ|θ≠kπ+

π

2

，k∈Z}

．

Answer 1

分析：先把方程①②组合求出y=

1

sinθ-1

；再把②③组合求出x=

1

sin 2θ-1

=

1

(sinθ-1)(sinθ+1)

；再结合方程组

x+y+z=1 x+ysinθ+z=2 xsin2θ+ysinθ+z=3

有唯一组解得到分母不等于0即可求出θ的集合．

解答：解：对关于x，y，z的三元一次方程组

x+y+z=1 x+ysinθ+z=2 xsin2θ+ysinθ+z=3

的三个方程从上到下记为：①②③．
则②-①得：y（sinθ-1）=1⇒y=

1

sinθ-1

；
③-②得：x（sin²θ-1）=1⇒x=

1

sin 2θ-1

=

1

(sinθ-1)(sinθ+1)

；
因为：∴sinθ-1≠0且sinθ+1≠0⇒θ≠kπ+

π

2

，k∈Z．
故答案为：{θ|θ≠kπ+

π

2

，k∈Z}．

点评：本题主要考查方程组的求解．在解三元一次方程组时，一般是两个两个相结合求出方程组的解．解决本题的关键在于知道唯一组解时，所求的解需满足什么条件．