Question

已知函数的定义域［-1，5］，部分对应值如表，的导函数的图象如图所示，下列关于函数的命题；

x	-1	0	2	4	5
F(x)	1	2	1.5	2	1

 

 

 

①函数的值域为［1，2］；

②函数在［0，2］上是减函数；

③如果当时，的最大值是2，那么t的最大值为4；

④当时，函数最多有4个零点.

其中正确命题的序号是 .

 

Answer 1

①②④

【解析】

试题分析：由的导函数的图象可看出（如表格），

		0	（0,2）	2	（2,4）	4
	+	0	-	0	+	0	-
	单调递增		单调递减		单调递增		单调递减

由表格可知：函数在区间[-1，0）上单调递增，在区间（0，2）上单调递减，在区间（2，4）上单调递增，在区间（4，5]上单调递增．∴②正确；

∴函数在x=0和x=4时，分别取得极大值，在x=2时取得极小值，且由对应值表f（0）=2，f（2）=1.5，f（4）=2，又f（-1）=1，f（5）=1．

∴函数的值域为[1，2]．∴①正确；

根据已知的对应值表及表格画出图象如下图：

③根据以上知识可得：当时，的最大值是2，则t=0，或4．故③不正确；

④由图象可以看出：当1.5＜a＜2时，函数有4个零点；

当a=2时，函数有2个零点；当a=1.5时，函数有3个零点；

当1≤a＜1.5时，函数有4个零点；

∴当1＜a＜2时，函数最多有4个零点．故④正确．

综上可知①②④正确．

故答案为①②④．

考点：应用导数研究函数的单调性、极值，函数的零点.