Question

如图，单位圆（半径为1的圆）的圆心O为坐标原点，单位圆与y轴的正半轴交与点A，与钝角α的终边OB交于点B（x_B，y_B），设∠BAO=β．

（1）用β表示α；

（2）如果，求点B（x_B，y_B）的坐标；

（3）求x_B﹣y_B的最小值．

Answer 1

考点：

任意角的三角函数的定义；基本不等式；圆方程的综合应用．

专题：

综合题．

分析：

（1）作出图形，结合图形由，能求出．

（2）由，r=1，得=．由此能求出点B（x_B，y_B）的坐标；

（3）【法一】，由此能求出x_B﹣y_B的最小值．

【法二】由α为钝角，知x_B＜0，y_B＞0，x_B²+y_B²=1，x_B﹣y_B=﹣（﹣x_B+y_B），（﹣x_B+y_B）²≤2（x_B²+y_B²）=2，由此能求出x_B﹣y_B的最小值．

解答：

解：（1）如图，∵，

∴．4分

（2）由，又r=1，

得

=．7分

由钝角α，

知，

∴.9分

（3）【法一】，

又，

，

∴x_B﹣y_B的最小值为13分

【法二】α为钝角，

∴x_B＜0，y_B＞0，

x_B²+y_B²=1，

x_B﹣y_B=﹣（﹣x_B+y_B），

（﹣x_B+y_B）²≤2（x_B²+y_B²）=2，

∴，

∴x_B﹣y_B的最小值为．13分

点评：

本题考查三角函数的性质和应用，综合性强，是高考的常见题型．解题时要认真审题，仔细解答，注意三角函数恒等变换的灵活运用．