Question

已知关于x的函数f（x）=

2

sin（2x+φ）（-π＜φ＜0），f（x）是偶函数
（Ⅰ）求φ的值；
（Ⅱ）求使f（x）＞1成立的x的取值集合．

Answer 1

分析：（I）根据函数奇偶性的定义并结合三角函数的诱导公式，算出φ=

π

2

+kπ（k∈Z），再由-π＜φ＜0可得φ的值；
（II）不等式f（x）＞1可化为cos2x＜-

2

2

，再利用余弦函数的图象加以计算，可得满足条件的x的取值集合．

解答：解：（I）∵f（x）=

2

sin（2x+φ），且f（x）是偶函数，
∴f（-x）=f（x），即

2

sin（-2x+φ）=

2

sin（2x+φ）对任意x∈R恒成立，
化简得sin（-2x+φ）=sin（2x+φ），
即（-2x+φ）+（2x+φ）=π+2kπ（k∈Z），解之得φ=

π

2

+kπ（k∈Z），
∵-π＜φ＜0，∴取k=-1，得φ=-

π

2

；
（II）由（I）得f（x）=

2

sin（2x-

π

2

）=-

2

cos2x，
若f（x）=-

2

cos2x＞1，则cos2x＜-

2

2

，可得

3π

4

+2kπ＜2x＜

5π

4

+2kπ（k∈Z），
解之得

3π

8

+kπ＜x＜

5π

8

+kπ（k∈Z），
∴使f（x）＞1成立的x的取值集合为{x|

3π

8

+kπ＜x＜

5π

8

+kπ，k∈Z}．

点评：本题给出三角函数式，在函数为偶函数的情况下求参数φ的值，并依此解关于x的不等式，着重考查了函数奇偶性的定义和三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．