Question

15．已知定义在（0，+∞）上的函数y=f（x）满足f（x）=[f′（x）-1]x，且f（1）=0．则函数y=f（x）的最小值为（　　）

• A． -$\frac{1}{e}$
• B． -1
• C． -e
• D． 0

Answer 1

分析 利用条件求出f（x）=xlnx，根据极值与最值的求解方法，连续函数在区间（a，b）内只有一个极值，那么极小值就是最小值．

解答 解：∵f（x）=[f′（x）-1]x，且f（1）=0，
∴f′（1）=1①．
又f′（x）=[f″（x）]x+f′（x）-1，
∴f″（x）=$\frac{1}{x}$，∴f′（x）=lnx+C②，联立①②可求得C=1，
∴f（x）=xlnx，
∴f'（x）=lnx+1（x＞0），令f'（x）=0，得x=$\frac{1}{e}$．
∵当x∈（0，$\frac{1}{e}$ ） 时，f'（x）＜0；当x∈（$\frac{1}{e}$，+∞） 时，f'（x）＞0，
∴当x=$\frac{1}{e}$ 时，f（x）_min=-$\frac{1}{e}$．
故选：A．

点评 本题考查了函数的导数运算、导数在最大值、最小值问题中的应用，解答关键是利用导数工具研究函数的最值问题．