Question

20．对于函数y=f（x），若存在定义域D内某个区间[a，b]，使得y=f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，则称函数y=f（x）在定义域D上封闭，如果函数f（x）=$\frac{kx}{1+{x}^{2}}$（k≠0）在R上封闭，那么实数k的取值范围是（-∞，-1）∪（1，+∞）．

Answer 1

分析 分类讨论，根据函数的奇偶性和单调性，即可求出k的取值范围．

解答 解：①x=0时，f（x）=0，
②由于f（x）为R上的奇函数，不妨先讨论x＞0时的性质，
当x＞0时，f（x）=$\frac{kx}{1+{x}^{2}}$=$\frac{k}{x+\frac{1}{x}}$≤$\frac{k}{2}$，
当k＞0，易知此时f（x）的值域为（0，$\frac{k}{2}$），而f（x）为奇函数，故f（x）的值域为（-$\frac{k}{2}$，$\frac{k}{2}$）；
观察f（x）单调性，得到f（x）为R上增函数，
故此时f（x）有如下性质，即在R上单调增，且值域为（-$\frac{k}{2}$，$\frac{k}{2}$），
而由封闭函数的定义可知，f（a）=a且f（b）=b，则a，b为关于x的方程kx=x（1+x²）的两个不等实根，
而x≠0，故k=1+x²∈（1，+∞），
当k＜0时，则-k＞0，则由上讨论知，-k=1+x²∈（1，+∞），故此时k∈（-∞，-1），
综上可知，k∈（-∞，-1）∪（1，+∞），
故答案为：（-∞，-1）∪（1，+∞）．

点评 考查根据函数解析式求函数的定义域，单调性，和利用单调性求函数的值域，体现了转化和方程的思想方法，属中档题．