题目内容

某隧道长2150米，通过隧道的车速不能超过20米/秒．一个由55辆车身都为10米的同一车型组成的运输车队匀速通过该隧道．设车队的速度为x米/秒，根据安全和车流的需要，相邻两车均保持 $数学公式$ 米的距离，其中a为常数且 $数学公式$ ，自第一辆车车头进入隧道至第55辆车车尾离开隧道所用时间为y（秒）．
（1）将y表示为x的函数；
（2）求车队通过隧道所用时间取最小值时车队的速度．

解：（1）依题意，自第一辆车车头进入隧道至第55辆车车尾离开隧道所用时间y等于隧道长加车长加车的间隙长，除以火车的速度x米/秒，
即 y= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ （0＜x≤20， $\text{[math]}$ ≤a≤1）
（2）令 $\text{[math]}$ ，得x= $\text{[math]}$ ，又由 $\text{[math]}$ =20，得a= $\text{[math]}$
∴①当 $\text{[math]}$ ≤a≤1时， $\text{[math]}$ ≤20
由均值定理知当且仅当x= $\text{[math]}$ 时，y= $\text{[math]}$ ≥2 $\text{[math]}$ +18=180 $\text{[math]}$ +18
即当x= $\text{[math]}$ 时，y_min=180 $\text{[math]}$ +18
②当 $\text{[math]}$ ≤a＜ $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ＞20
∵y′=- $\text{[math]}$ +9a＜0，（0＜x≤20）
∴函数y= $\text{[math]}$ 在（0，20]上是减函数，
∴当x=20时，y_min= $\text{[math]}$ +180a+18=153+180a
答：若 $\text{[math]}$ ≤a＜ $\text{[math]}$ ，则当车队速度为20m/s时，通过隧道所用时间最少；若 $\text{[math]}$ ≤a≤1，则当车队速度为 $\text{[math]}$ m/s时，通过隧道所用时间最少
分析：（1）自第一辆车车头进入隧道至第55辆车车尾离开隧道所用时间y等于隧道长加车长加车的间隙长，除以火车的速度x米/秒，依题意列出函数解析式并化简即可
（2）由函数y= $\text{[math]}$ 的性质，当x= $\text{[math]}$ 时，函数取得最小值，但由于定义域为（0，20]，故需要比较x= $\text{[math]}$ 与定义域的位置关系，分 $\text{[math]}$ ≤a≤1， $\text{[math]}$ ≤a＜ $\text{[math]}$ 两种情况讨论函数的最小值及取最小值时函数自变量的取值
点评：本题考查了将应用问题转化为数学问题的能力，求函数解析式的方法，利用函数性质求函数最值的方法，分类讨论的思想方法

练习册系列答案

≤a≤1，自第一辆车车头进入隧道至第55辆车车尾离开隧道所用时间为y（秒）．
（1）将y表示为x的函数；
（2）求车队通过隧道所用时间取最小值时车队的速度．

（本小题满分12分）某隧道长2150米，通过隧道的车速不能超过20米/秒．一个由55辆车身都为10米的同一车型组成的运输车队匀速通过该隧道．设车队的速度为x米/秒，根据安全和车流的需要，相邻两车均保持米的距离，其中a为常数且，自第一辆车车头进入隧道至第55辆车车尾离开隧道所用时间为y(秒) ．（1）将y表示为x的函数；（2）求车队通过隧道所用时间取最小值时车队的速度．

（本小题满分13分）某隧道长2150米，通过隧道的车速不能超过20米/秒．一个由55辆车身都为10米的同一车型组成的运输车队匀速通过该隧道．设车队的速度为x米/秒，根据安全和车流的需要，相邻两车均保持米的距离，其中a为常数且，自第一辆车车头进入隧道至第55辆车车尾离开隧道所用时间为y(秒) ．（1）将y表示为x的函数；（2）求车队通过隧道所用时间取最小值时车队的速度．

某隧道长2150米，通过隧道的车速不能超过20米/秒．一个由55辆车身都为10米的同一车型组成的运输车队匀速通过该隧道．设车队的速度为x米/秒，根据安全和车流的需要，相邻两车均保持

米的距离，其中a为常数且

，自第一辆车车头进入隧道至第55辆车车尾离开隧道所用时间为y（秒）．
（1）将y表示为x的函数；
（2）求车队通过隧道所用时间取最小值时车队的速度．

米的距离，其中a为常数且

试题分类