Question

16．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asinA=bsinB+（c-b）sinC，且bc=4，则△ABC的面积为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转换成边的关系，代入余弦定理中求得cosB的值，进而求得sinB，结合bc=4，利用三角形面积公式即可得解．

解答 解：∵asinA=bsinB+（c-b）sinC，
∴由正弦定理得a²=b²+c²-bc，即：b²+c²-a²=bc，
∴由余弦定理可得b²=a²+c²-2accosB，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{bc}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，A=60°．可得：sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵bc=4，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×4×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$

点评 本题主要考查了解三角形问题．考查了对正弦定理和余弦定理的灵活运用，考查了三角形面积公式的应用，属于中档题．