Question

9．已知正数x，y满足x+2$\sqrt{2xy}$≤λ（x+y）恒成立，则实数λ的最小值为2．

Answer 1

分析 方法一：利用参数分离法转化为求函数的最值问题，利用换元法以判别式法求出即可．
方法二，直接根据基本不等式即可求出．

解答 解：方法一：∵正数x，y满足x+2$\sqrt{2xy}$≤λ（x+y）恒成立，
∴λ≥$\frac{x+2\sqrt{2xy}}{x+y}$=$\frac{1+2\sqrt{2•\frac{y}{x}}}{1+\frac{y}{x}}$恒成立，
设t=$\sqrt{\frac{y}{x}}$，t＞0
则函数等价为y=$\frac{1+2\sqrt{2}t}{1+{t}^{2}}$，
∴yt²-2$\sqrt{2}$t+y-1=0，
∴方程有两个正根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{△=8-4y（y-1）≥0}\\{\frac{\sqrt{2}}{y}＞0}\\{\frac{y-1}{y}＞0}\end{array}\right.$，
解得1＜y≤2，
∴λ≥2，
故实数λ的最小值为2，
方法二：∵正数x，y满足x+2$\sqrt{2xy}$≤λ（x+y）恒成立，
∴λ≥$\frac{x+2\sqrt{2xy}}{x+y}$．
∵2$\sqrt{2xy}$≤x+2y
∴$\frac{x+2\sqrt{2xy}}{x+y}$≤$\frac{x+x+2y}{x+y}$=2，
∴λ≥2，
故实数λ的最小值为2，
故答案为：2

点评 本题主要考查不等式恒成立问题，利用参数分离法以及换元法，转化为求函数的最值是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．