Question

15．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），设F₁，F₂为其左、右焦点，P在双曲线右支上，半径为b+$\frac{b}{a}$的圆M为△PF₁F₂的内切圆，若点M到直线y=$\frac{b}{a}$x的距离为$\frac{1}{2}$，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{3\sqrt{6}}{6}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{6}}{2}$
• D． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 充分利用平面几何图形的性质解题．因从同一点出发的切线长相等，记△PF₁F₂的边PF₁、PF₂、F₁F₂上的切点分别为K、N、D，得PK|=|PN|，|F₁K|=|F₁D|，|F₂N|=|F₂D|，再结合双曲线的定义得|F₁D|-|F₂D|=2a，从而即可求得△PF₁F₂的内心的横坐标，即有M的坐标，运用点到直线的距离公式，可得a，b的关系，再由离心率公式计算即可得到所求值．

解答 解：记△PF₁F₂的边PF₁、PF₂、F₁F₂上的切点分别为K、N、D，
易见M、D横坐标相等，
|PK|=|PN|，|F₁K|=|F₁D|，|F₂N|=|F₂D|，由|PF₁|-|PF₂|=2a，
即：|PK|+|KF₁|-（|PN|+|NF₂|）=2a，得|KF₁|-|NF₂|=2a即|F₁D|-|F₂D|=2a，
记M的横坐标为x₀，则D（x₀，0），
于是：x₀+c-（c-x₀）=2a，得x₀=a，
可得M（a，b+$\frac{b}{a}$），
由点M到直线y=$\frac{b}{a}$x的距离为$\frac{1}{2}$，
即为$\frac{|ab-ab-b|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，
化为a=$\sqrt{3}$b，
即有c²=a²+b²=a²+$\frac{1}{3}$a²=$\frac{4}{3}$a²，
可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故选：D．

点评 本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要是离心率的求法，注意运用切线的性质判断圆心的横坐标是解题的关键，属于中档题．