Question

已知函数f（x）=log₂[（x²+x+k）²+（x²+x+k）-2]，k∈R，
（1）求函数f（x）的定义域D（用区间表示），
（2）当k＜-2时，求函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）设令t=x²+x+k，则f（t）=log₂（t²+t-2），得到x²+x+k＜-2，①或x²+x+k＞1，②分类讨论即可求出定义域
（Ⅱ）根据复合函数的单调性以及利用导数求出函数的单调增区间．

解答： 解：（Ⅰ）令t=x²+x+k，
∴f（t）=log₂（t²+t-2），
∴t²+t-2＞0，解得：t＜-2或t＞1
∴x²+x+k＜-2，①或x²+x+k＞1，②
对于不等式①、②分别有：△₁=-4k-7与△₂=-4k+5
（1°）当k＜-

7

4

时，：△₁＞0，△₂＞0，此时不等式①、②对应的方程分别有不等根：
x₁=

1

2

（-1-

-4k-7

）与x₂=

1

2

（-1+

-4k-7

），x₃=

1

2

（-1-

-4k+5

），x₄=

1

2

（-1+

-4k+5

），
不难证明：x₃＜x₁＜x₂＜x₄，
所以不等式①的解集为（x₁，x₂），不等式②的解集为（-∞，x₃）∪（x₄，+∞），
所以当k＜-

7

4

时，函数f（x）的定义域D=（-∞，x₃）∪（x₁，x₂）∪（x₄，+∞），
（2°）当-

7

4

≤k≤

5

4

时，△₁≤0，△₂≥0，结合（1）可知：不等式①的解集为x∈∅
不等式②的解集为（-∞，x₃）∪（x₄，+∞），
所以当-

7

4

≤k≤

5

4

时，函数f（x）的定义域D=（-∞，x₃）∪（x₄，+∞），
（3°）当k＞

5

4

时，△₁＜0，△₂＜0，结合（1）可知：不等式①的解集为x∈∅，不等式②的解集为x∈R
所以当k＞

5

4

时，函数f（x）的定义域D=R                      
综上所述：当k＜-

7

4

时，函数f（x）的定义域D=（-∞，x₃）∪（x₁，x₂）∪（x₄，+∞），
当-

7

4

≤k≤

5

4

时，函数f（x）的定义域D=（-∞，x₃）∪（x₄，+∞），
所以当k＞

5

4

时，函数f（x）的定义域D=R  
 （Ⅱ）由（Ⅰ）知道：当k

(    )

(    )

＜-2时，函数f（x）的定义域D=（-∞，x₃）∪（x₁，x₂）∪（x₄，+∞），
令g（x）=（x²+x+k）²+（x²+x+k）-2，
∴g′（x）=[2（x²+x+k）+1]（2x+1）=4（x²+x+k+

1

2

）（x+

1

2

＞0，
∴

x+ 1 2 ＜0 x2+x+k+ 1 2 ＜0

或

x+ 1 2 ＞0 x2+x+k+ 1 2 ＞0

对于方程x²+x+k+

1

2

=0，△₃=-4k-1＞0恒成立，
解的x₅=

-1- -4k-1

2

，x₆=

-1+ -4k-1

2

，
故不等组的解集为（

-1- -4k-1

2

，-

1

2

）∪（

-1+ -4k-1

2

，+∞）
故函数的单调递增区间为：（

-1- -4k-7

2

，-

1

2

）∪（

-1+ -4k+5

2

，+∞）

点评：本题考查了函数的定义域和函数的单调区间的求法，主要考查学生的分类讨论的思想，属于中档题