Question

在直角坐标系xOy上取两个定点A₁(－2,0)、A₂(2,0)，再取两个动点N₁(0，a)，N₂(0，b)，且ab＝3.

(1)求直线A₁N₁与A₂N₂交点的轨迹M的方程；

(2)已知点F₂(1,0)，设直线l：y＝kx＋m与(1)中的轨迹M交于P、Q两点，直线F₂P、F₂Q的倾斜角为α、β，且α＋β＝π，求证：直线l过定点，并求该定点的坐标．

Answer 1

 (1)依题意知直线A₁N₁的方程为：y＝(x＋2)，①

直线A₂N₂的方程为：y＝－(x－2)，②

设R(x，y)是直线A₁N₁与A₂N₂交点，①×②得y²＝－(x²－4)．

将ab＝3代入整理得＋＝1.

∵点N₁、N₂不与原点重合，

∴点A₁(－2,0)、A₂(2,0)不在轨迹M上，

∴轨迹M的方程为＋＝1(x≠±2)．

(2)由题意知，直线l的斜率存在且不为零，

联立方程消去y得，(3＋4k²)x²＋8kmx＋4m²－12＝0，设P(x₁，y₁)、Q(x₂，y₂)，则

由已知α＋β＝π，得kF₂P＋kF₂Q＝0，

∴＝0，

化简，得2kx₁x₂＋(m－k)(x₁＋x₂)－2m＝0，

将(*)式代入，得2k×－2m＝0，

整理得m＝－4k.

∴直线l的方程为y＝k(x－4)，

∴直线l过定点，该定点的坐标为(4,0)．