题目内容

如图在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、G分别是A₁D₁、D₁D、D₁C₁的中点．
求证：平面EFG∥平面AB₁C．

证明：设 $\text{[math]}$ =a， $\text{[math]}$ =b， $\text{[math]}$ =c，则 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （a+b）， $\text{[math]}$ =a+b=2 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ∥ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ b- $\text{[math]}$ c= $\text{[math]}$ （b-c）， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =b-c=2 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ∥ $\text{[math]}$ ．
又∵EG与EF相交，AC与B₁C相交，
∴平面EFG∥平面AB₁C．
分析：欲证平面EFG∥平面AB₁C，根据面面平行的判定定理可知只需在一个平面内找两相交直线与另一平面平行，设 $\text{[math]}$ =a， $\text{[math]}$ =b， $\text{[math]}$ =c，然后将 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别利用基底进行表示，然后根据共线定理进行判定，从而得到面面平行的判定定理的条件．
点评：本题主要考查了平面与平面平行的判定，以及利用向量的方法证明两直线平行等有关知识，属于基础题．