Question

16．已知定义在R上的函数f（x），对任意x∈R，都有f（x+2）=f（x）+f（1）成立，若函数y=f（x-1）的图象关于直线x=1对称，则f（2015）=（　　）

• A． -2
• B． 0
• C． 2
• D． 2015

Answer 1

分析 先由函数f（x-1）的图象关于直线x=1对称，得函数f（x）的图象关于直线x=0对称，即函数f（x）是偶函数，在已知条件中令x=-1可求f（1）及函数的周期，利用所求周期即可求解．

解答 解：∵函数f（x-1）的图象关于直线x=1对称，
∴由函数的图象的平移可知函数y=f（x）关于x=0对称，即函数为偶函数
∵f（x+2）=f（x）+f（1）
令x=-1可得
f（1）=f（-1）+f（1），
∴f（-1）=f（1）=0，
从而可得f（x+2）=f（x），
即函数是以2为周期的周期函数
∴f（2015）=f（1）=0，
故选：B．

点评 本题主要考查了利用赋值求解抽象函数的函数值，由图象判断函数的奇偶性，函数的周期的求解是求解本题的关键，属于基础题．