Question

13．等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知（a₁₀₀₇-1）³+2 015（a₁₀₀₇-1）=1，（a₁₀₀₉-1）³+2 015（a₁₀₀₉-1）=-1，则（　　）

• A． S₂₀₁₅=2 015，a₁₀₀₉＞1＞a₁₀₀₇
• B． S₂₀₁₅=2 015，a₁₀₀₇＞1＞a₁₀₀₉
• C． S₂₀₁₅=-2 015，a₁₀₀₉＞1＞a₁₀₀₇
• D． S₂₀₁₅=-2 015，a₁₀₀₇＞1＞a₁₀₀₉

Answer 1

分析 根据等差数列的性质以及等差数列的前n项和公式结合已知得答案．

解答 解：∵（a₁₀₀₇-1）³+2015（a₁₀₀₇-1）=1＞0，（a₁₀₀₉-1）³+2015（a₁₀₀₉-1）=-1＜0，
∴a₁₀₀₇＞1，a₁₀₀₉＜1，即a₁₀₀₉＜a₁₀₀₇，
设a=a₁₀₀₇-1，b=a₁₀₀₉-1，
则a＞0，b＜0，
则条件等价为：a³+2015a=1，b³+2015b=-1，
两式相加得a³+b³+2015（a+b）=0，
即（a+b）（a²-ab+b²）+2015（a+b）=0，
∴（a+b）（a²-ab+b²+2015）=0，
∵a＞0，b＜0，
∴ab＜0，-ab＞0，
即a²-ab+b²+2015＞0，
∴必有a+b=0，
即a₁₀₀₇-1+a₁₀₀₉-1=0，
∴a₁₀₀₇+a₁₀₀₉=2，即a₁₀₀₇+a₁₀₀₉=a₁+a₂₀₁₅=2，
∴S₂₀₁₅=$\frac{2015（{a}_{1}+{a}_{2015}）}{2}$=2015．
故选D．

点评 本题考查等差数列的性质，考查了学生的灵活变形能力，考查了公式a³+b³=（a+b）（a²-ab+b²）的应用，是中档题．