Question

已知在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，其中sin2A=sin2B．
（1）若a=2，b=

3

，求△ABC的面积；
（2）若2bccosC=b²+c²-a²，求∠C．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）利用题设等式，根据和差化积公式整理求得cos（A+B）=0或sin（A-B）=0，又由已知即可求出△ABC的面积．
（2）由余弦定理及正弦定理可得cosA=

2bcsinC

2bc

=cosC，可得cosC=cosA，然后推出A、B、C大小．

解答： 解：∵sin2A=sin2B，
∴sin2A-sin2B=cos（A+B）sin（A-B）=0，
∴cos（A+B）=0或sin（A-B）=0，
∴A+B=

π

2

或A=B，
（1）∵a=2，b=

3

，
故有A+B=

π

2

，
∴S_△ABC=

1

2

ab=

1

2

×2×

3

=

3

．
（2）∵2bccosC=b²+c²-a²，
∴由余弦定理及正弦定理可得：cosA=

2bcsinC

2bc

=cosC
∴cosC=cosA，
∴∠C=∠A，又A+B=

π

2

或A=B，
∴当A+B=

π

2

时，无解，
当A=B时，有A=B=C=

π

3

．

点评：本题主要考查了正弦定理，余弦定理的应用，考查了三角形内角和定理的应用，属于基本知识的考查．