Question

8．已知双曲线E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的右焦点为F，圆C：（x-$\frac{c}{2}$）²+y²=$\frac{{c}^{2}}{4}$与双曲线的渐近线交于A，B，O三点（O为坐标原点）．若△ABF为等边三角形，则双曲线E的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． 2
• C． $\sqrt{5}$
• D． 3

Answer 1

分析 求出双曲线的渐近线方程，联立方程组求出交点A的坐标，结合三角形ABF是等边三角形，建立方程关系进行求解即可．

解答 解：双曲线的渐近线为y=±$\frac{b}{a}$x，
将y=$\frac{b}{a}$x代入（x-$\frac{c}{2}$）²+y²=$\frac{{c}^{2}}{4}$得x=$\frac{{a}^{2}}{c}$，y=$\frac{ab}{c}$，
即A（$\frac{{a}^{2}}{c}$，$\frac{ab}{c}$），则C（$\frac{{a}^{2}}{c}$，0），
则AC=$\frac{ab}{c}$，CF=c-$\frac{{a}^{2}}{c}$=$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{c}$=$\frac{{b}^{2}}{c}$，
∵△ABF为等边三角形，
∴∠AFC=30°，
则tan30°=$\frac{AC}{CF}$=$\frac{\frac{ab}{c}}{\frac{{b}^{2}}{c}}$=$\frac{a}{b}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
则b=$\sqrt{3}$a，
平方得b²=3a²=c²-a²，
即c²=4a²，则c=2a，
即离心率e=$\frac{c}{a}$=2，
故选：B．

点评 本题主要考查双曲线离心率的计算，根据条件求出交点坐标，结合正三角形的性质是解决本题的关键．