题目内容
18．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=tcosα\\ y=-2+tsinα\end{array}\right.$（t为参数），直线l与两个直角坐标轴的交点分别是A，B．以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=2sinθ，$θ∈（\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}）$，半圆C的圆心是C．（Ⅰ）求直线l的普通方程与半圆C的参数方程；
（Ⅱ）若点D在半圆C上，直线CD的倾斜角是2α，△ABD的面积是4，求D的直角坐标．
分析 （Ⅰ）消去参数，可得直线l的普通方程，利用半圆C的直角坐标方程是x2+（y-1）2=1（y＞1），写出半圆C的参数方程；
（Ⅱ）若点D在半圆C上，直线CD的倾斜角是2α，△ABD的面积是4，求出α，即可求D的直角坐标．
解答 解：（Ⅰ）直线l的普通方程是y=xtanα-2．
半圆C的直角坐标方程是x2+（y-1）2=1（y＞1）．
它的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}x=cosφ\\ y=1+sinφ\end{array}\right.$，其中φ是参数，且φ∈（0，π）．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可设D（cos2α，1+sin2α），其中α$∈（0，\frac{π}{2}）$．
再由（Ⅰ）可知$|AB|=\frac{2}{sinα}$．
D到直线l距离是$\frac{|cos2α•tanα-（1+sin2α）-2|}{{\sqrt{{{tan}^2}α+1}}}=3cosα+sinα$．
因为△ABD的面积是4，所以$\frac{1}{2}•\frac{2}{sinα}•（3cosα+sinα）=4$，得tanα=1，$α=\frac{π}{4}$，
故D的直角坐标是D（0，2）．…（10分）
点评 本题考查参数方程、极坐标方程，直角坐标方程的互化，考查点到直线距离公式的运用，属于中档题．
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| C． | f（x）=$\frac{{x}^{2}-1}{x-1}$和g（x）=x+1 | D． | f（x）=x-1与g（x）=$\frac{{x}^{2}}{x}$-1 |
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