Question

14．若△ABC中，D为边AC的中点，角C为$\frac{π}{3}$，且BC=8，BD=7，则△ABC的面积为$6\sqrt{3}$或$20\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根据角C为$\frac{π}{3}$，且BC=8，BD=7，利用余弦定理求解出DC，D为边AC的中点，可得AC的长度，可求△ABC面积．

解答 解：由题意，角C为$\frac{π}{3}$，且BC=8，BD=7，
由余弦定理可得：cosC=$\frac{C{B}^{2}+D{C}^{2}-B{D}^{2}}{2CD•BC}$
解得：DC=3或5．
故得AC=3或10
当AC=3时，
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}•BC•AC•sinC$=$\frac{1}{2}×8×3×\frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}$
当AC=10时，
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}•BC•AC•sinC$=$\frac{1}{2}×8×10×\frac{\sqrt{3}}{2}=20\sqrt{3}$．
故答案为：$6\sqrt{3}$或$20\sqrt{3}$

点评 本题主要考查了余弦定理的灵活运用能力和计算能力．属于基础题．