题目内容
13．在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=-3+tcosα\\ y=1+tsinα\end{array}\right.$（为参数）．取原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．（1）把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C的形状；
（2）若直线经过点（0，4），点P是曲线上任意一点，求点P到直线的距离的最小值．
分析 （1）曲线C直角坐标方程为：y2=4x，可得曲线C的形状；
（2）求出直线的普通方程，设P（4t2，4t），则点P到直线的距离$d=\frac{{|4{t^2}-4t+4|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{|4{{（t-\frac{1}{2}）}^2}+3|}}{{\sqrt{2}}}$，即可求点P到直线的距离的最小值．
解答 解：（1）曲线C直角坐标方程为：y2=4x，
∴曲线C是顶点为O（0，0），焦点为F（1，0）的抛物线； …5分
（2）直线的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=-3+tcosα\\ y=1+tsinα\end{array}\right.$（为参数），故直线过点（-3，1）；
又若直线经过点（0，4），∴直线的普通方程为：x-y+4=0，
由已知设P（4t2，4t），则点P到直线的距离$d=\frac{{|4{t^2}-4t+4|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{|4{{（t-\frac{1}{2}）}^2}+3|}}{{\sqrt{2}}}$，
所以当$t=\frac{1}{2}$，即点P（1，2）时，d取得最小值$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，
因此点P到直线的距离的最小值为$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$． …10分．
点评 本题考查了数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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1．方程2cosx=1的解集为（ ）
| A． | $\{x|x=2kπ+\frac{π}{3}，k∈Z\}$ | B． | $\{x|x=2kπ+\frac{5π}{3}，k∈Z\}$ | ||
| C． | $\{x|x=2kπ±\frac{π}{3}，k∈Z\}$ | D． | $\{x|x=kπ+{（-1）^k}\frac{π}{3}，k∈Z\}$ |
5．若mn表示直线，α表示平面，则下列说法中不正确的为（ ）
| A． | $\left.\begin{array}{l}m∥n\\ m⊥α\end{array}\right\}⇒n⊥α$ | B． | $\left.\begin{array}{l}m⊥α\\ n⊥α\end{array}\right\}⇒m∥n$ | C． | $\left.\begin{array}{l}m⊥α\\ n∥α\end{array}\right\}⇒m⊥n$ | D． | $\left.\begin{array}{l}m∥α\\ m⊥n\end{array}\right\}⇒n⊥α$ |
2．下列命题中为真命题的是（ ）
| A． | 命题“若x＞2015，则x＞0”的逆命题 | |
| B． | 命题“若xy=0，则x=0或y=0”的否命题 | |
| C． | 命题“若x2+x-2=0，则x=1” | |
| D． | 命题“若x2≥1，则x≥1”的逆否命题 |