Question

3．已知命题p：关于x的不等式x²+2ax+4＞0对?x∈R恒成立；命题q：不等式x²-（a+1）x+1≤0的解集是空集．若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，则命题p，q一真一假，进而可得实数a的取值范围．

解答 解：若不等式x²+2ax+4＞0对?x∈R恒成立，
则△=4a²-16＜0，
∴命题p：-2＜a＜2；
若等式x²-（a+1）x+1≤0的解集是空集．
则△=（a+1）²-4＜0，
∴命题q：-3＜a＜1，
∵“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，
∴命题p，q一真一假，
∴$\left\{\begin{array}{l}-2＜a＜2\\ a≤-3，或a≥1\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}a≤-2，或a≥2\\-3＜a＜1\end{array}\right.$，
综上可得：a∈（-3，-2]∪[1，2）．

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合但，函数恒成立等知识点，难度中档．