Question

1．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=4，CB=2，AA₁=2，∠ACB=60°，E，F分别是A₁C₁，BC的中点．
（1）证明：C₁F∥平面ABE；
（2）设P是BE的中点，求三棱锥P-B₁C₁F的体积．

Answer 1

分析 （1）根据线面平行的判定定理即可证明：C₁F∥平面ABE；
（2）根据三棱锥的体积公式即可求三棱锥P-B₁C₁F的体积．

解答 （1）证明：取AC的中点M，连接C₁M，FM，
在△ABC中，FM∥AB，
而FM?面ABE，∴FM∥平面ABE，
在矩形ACC₁A₁中，E，M都是中点，
∴C₁M∥AE，
而C₁M?平面ABE，∴C₁M∥平面ABE，
∵C₁M∩FM=M，
∴平面FC₁M?平面ABE
∵C₁F?平面FC₁M，
∴C₁F∥平面ABE，
（2）取B₁C₁的中点H，连接EH，
则EH∥AB，且EH=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{3}$FM，
∵AB⊥平面BB₁C₁C，
∴EH⊥平面BB₁C₁C，
∵P是BE的中点，
∴${V}_{P-{B}_{1}{C}_{1}F}=\frac{1}{2}{V}_{E-{B}_{1}{C}_{1}F}$=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}•{S}_{△{B}_{1}{C}_{1}F}•EH$=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×2×\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题主要考查线面平行的判定以及空间几何体的体积的计算，根据相应的判定定理以及三棱锥的体积公式是解决本题的关键．