题目内容
设函数f（x）=
（0＜x≤
）
（1）设x＞0，y＞0，且x+y＜
，试比较f（x+y）与f（x）的大小．
（2）现给出如下3个结论，请你分别指出其正确性，并说明理由．
①对任意x∈（0，
]都有cosx＜f（x）＜1成立．
②对任意x∈（0，
）都有f（x）＜1-
+
-
+
-
成立．
③若关于x的不等式f（x）＜k在（0，
]有解，则k的取值范围是（
，+∞）．
| sinx |
| x |
| π |
| 2 |
（1）设x＞0，y＞0，且x+y＜
| π |
| 2 |
（2）现给出如下3个结论，请你分别指出其正确性，并说明理由．
①对任意x∈（0，
| π |
| 2 |
②对任意x∈（0，
| π |
| 3 |
| x2 |
| 3! |
| x4 |
| 5! |
| x6 |
| 7! |
| x8 |
| 9! |
| x10 |
| 11! |
③若关于x的不等式f（x）＜k在（0，
| π |
| 2 |
| 2 |
| π |
考点：利用导数研究函数的单调性
专题：导数的概念及应用,导数的综合应用
分析：（1）求出函数f（x）=
（0＜x≤
）的导函数，结合当0＜x＜
时，f′（x）＜0，可得f（x+y）＜f（x）；
（2）由当x→0时，
→cosx，结合f（x）≤f（
），可判断①；根据1-
+
-
+
-
≈cosx，可判断②；根据不等式f（x）＜k在（0，
]有解，则k＞f（x）max，可判断③
| sinx |
| x |
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
（2）由当x→0时，
| sinx |
| x |
| π |
| 2 |
| x2 |
| 3! |
| x4 |
| 5! |
| x6 |
| 7! |
| x8 |
| 9! |
| x10 |
| 11! |
| π |
| 2 |
解答：
解：（1）∵f（x）=
，
∴f′（x）=
=
，
当0＜x＜
时，x-tanx＜0恒成立，
故当0＜x＜
时，f′（x）＜0，
故函数f（x）为减函数，
∵x＞0，y＞0，且x+y＜
，
∴0＜x＜x+y＜
，
∴f（x+y）＜f（x）
（2）当x→0时，
→cosx，由（1）得f（x）≤f（
）=
＜1，故①正确；
1-
+
-
+
-
≈cosx，对任意x∈（0，
）都有f（x）＞cos，故②错误；
若不等式f（x）＜k在（0，
]有解，则k＞f（x）max=
，故k的取值范围是（
，+∞），故③正确．
| sinx |
| x |
∴f′（x）=
| cosx•x-sinx |
| x2 |
| x-tanx |
| x2 |
当0＜x＜
| π |
| 2 |
故当0＜x＜
| π |
| 2 |
故函数f（x）为减函数，
∵x＞0，y＞0，且x+y＜
| π |
| 2 |
∴0＜x＜x+y＜
| π |
| 2 |
∴f（x+y）＜f（x）
（2）当x→0时，
| sinx |
| x |
| π |
| 2 |
| 2 |
| π |
1-
| x2 |
| 3! |
| x4 |
| 5! |
| x6 |
| 7! |
| x8 |
| 9! |
| x10 |
| 11! |
| π |
| 3 |
若不等式f（x）＜k在（0，
| π |
| 2 |
| 2 |
| π |
| 2 |
| π |
点评：本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，及函数单调性的应用，涉及三角函数的泰勒展开式等高等数学的知识点，故难度较大，属于难题．
练习册系列答案
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