Question

17．如图，在半径为30cm的半圆形铁皮上截取一块矩形材料A（点A，B在直径上，点C，D在半圆周上），并将其卷成一个以AD为母线的圆柱体罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗）．
（1）若要求圆柱体罐子的侧面积最大，应如何截取？
（2）若要求圆柱体罐子的体积最大，应如何截取？

Answer 1

分析 （1）设BC=x，求出AB，得出侧面积S关于x的函数，利用基本不等式得出S的最大值；
（2）用x表示出圆柱的底面半径，得出体积V（x）关于x的函数，判断V（x）的单调性，得出V（x）的最大值．

解答 解：（1）连接OC，设BC=x，则AB=2$\sqrt{900-{x}^{2}}$，（其中0＜x＜30），
∴S=2x$\sqrt{900-{x}^{2}}$=2 $\sqrt{{x}^{2}（900-{x}^{2}）}$≤x²+（900-x²）=900，
当且仅当x²=900-x²，即x=15$\sqrt{2}$时，S取最大值900；
∴取BC=15$\sqrt{2}$cm时，矩形ABCD的面积最大，最大值为900cm²．
（2）设圆柱底面半径为r，高为x，
则AB=2$\sqrt{900-{x}^{2}}$=2πr，解得r=$\frac{\sqrt{900-{x}^{2}}}{π}$，
∴V=πr²h=$\frac{1}{π}$（900x-x³），（其中0＜x＜30）；
∴V′=$\frac{1}{π}$（900-3x²），令V′（x）=0，得x=10$\sqrt{3}$；
因此V（x）=$\frac{1}{π}$（900x-x³）在（0，10 $\sqrt{3}$）上是增函数，在（10$\sqrt{3}$，30）上是减函数；
∴当x=10$\sqrt{3}$时，V（x）取得最大值V（10$\sqrt{3}$）=$\frac{6000\sqrt{3}}{π}$，
∴取BC=10$\sqrt{3}$cm时，做出的圆柱形罐子体积最大，最大值为$\frac{6000\sqrt{3}}{π}$cm³．

点评 本题考查了圆柱的结构特征，圆柱的侧面积与体积计算，用不等式与函数单调性求函数最值，属于中档题．