Question

8．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，椭圆C上任意一点到椭圆左右两个焦点的距离之和为4．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）椭圆C与X轴负半轴交于点A，直线过定点（-1，0）交椭圆于M，N两点，求△AMN面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意a=2b，根据椭圆C上任意一点到椭圆左右两个焦点的距离之和为4，利用椭圆的定义求出a，可得b，即可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线MN：x=my-1，联立椭圆方程，消去x，运用韦达定理，再由△AMN面积为S=$\frac{1}{2}$|AD|•|y₁-y₂|，代入化简整理，再由对勾函数的性质，即可得到最大值．

解答 解：（Ⅰ）由题意a=2b，…（2分）
又2a=4，所以a=2，b=1…（4分）
椭圆方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$…（5分）
（Ⅱ）A点坐标为（-2，0），直线MN过定点（-1，0），
∴令直线MN的方程为x=my-1，…（6分）
联立$\left\{{\begin{array}{l}{x=my-1}\\{\frac{x^2}{4}+{y^2}=1}\end{array}}\right.$，消去x得（m²+4）y²-2my-3=0，…（8分）
∴${y_1}+{y_2}=\frac{2m}{{{m^2}+4}}$，${y_1}{y_2}=\frac{-3}{{{m^2}+4}}$，…（9分）
${S_{△AMN}}=\frac{1}{2}|{AD}||{{y_1}-{y_2}}|=\frac{1}{2}\sqrt{{{（{y_1}+{y_2}）}^2}-4{y_1}{y_2}}$…（11分）
=$\frac{1}{2}\sqrt{\frac{{4{m^2}}}{{{{（{m^2}+4）}^2}}}+\frac{12}{{{m^2}+4}}}$=$2\sqrt{\frac{{{m^2}+3}}{{{{（{m^2}+4）}^2}}}}$，…（12分）
令t=m²+3，t≥3，
∴${S_{△AMN}}=2\sqrt{\frac{t}{{{{（t+1）}^2}}}}=2\sqrt{\frac{1}{{t+\frac{1}{t}+2}}}≤2\sqrt{\frac{1}{{3+\frac{1}{3}+2}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，…（14分）
当且仅当t=m²+3=3即m=0时，△AMN面积的最大值为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．…（15分）

点评 本题考查椭圆的方程和性质，考查联立直线方程和椭圆方程，消去未知数，运用韦达定理，以及化简整理的运算能力，属于中档题．