给出下列命题:其中正确命题的序号是( )①已知$\overrightarrow a$=.$\overrightarrow b$=(1.1).$\overrightarrow c$=.若$\overrightarrow c$=p$\overrightarrow a$+q$\overrightarrow b$.则p=1.q=4②不存在实数α.使sinαcosα=1③是函数y=sin的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．给出下列命题：其中正确命题的序号是（　　）
①已知$\overrightarrow a$=（-1，-2），$\overrightarrow b$=（1，1），$\overrightarrow c$=（3，-2），若$\overrightarrow c$=p$\overrightarrow a$+q$\overrightarrow b$，则p=1，q=4
②不存在实数α，使sinαcosα=1
③（$\frac{π}{8}$，0）是函数y=sin（2x+$\frac{5}{4}π$）的一个对称轴中心
④已知函数f（x）在（0，1）上为减函数，在锐角△ABC中，有f（sinA）＜f（cosC）．

A．

①②

B．

②④

C．

①③

D．

④

分析 ①根据平面向量的基本定理建立方程进行求解即可．
②根据三角函数的倍角公式进行求解．
③根据三角函数对称性进行求解．
④根据函数奇偶性和单调性之间的关系，结合三角函数的诱导公式进行求解即可．

解答解：①已知$\overrightarrow a$=（-1，-2），$\overrightarrow b$=（1，1），$\overrightarrow c$=（3，-2），若$\overrightarrow c$=p$\overrightarrow a$+q$\overrightarrow b$，
则$\left\{\begin{array}{l}{-p+q=3}\\{-2p+q=-2}\end{array}\right.$得p=5，q=8，故①错误，
②∵sinαcosα=$\frac{1}{2}$sinα∈[$-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]，∴不存在实数α，使sinαcosα=1，故②正确，
③当x=$\frac{π}{8}$时，y=sin（2x+$\frac{5}{4}π$）=sin（2×$\frac{π}{8}$+$\frac{5}{4}π$）=sin$\frac{3π}{2}$=-1≠0，
∴（$\frac{π}{8}$，0）不是函数y=sin（2x+$\frac{5}{4}π$）的一个对称轴中心，故③错误，
④因为△ABC是锐角三角形，
∴A+C＞$\frac{π}{2}$，即A＞$\frac{π}{2}$-C，
则sinA＞sin（$\frac{π}{2}$-C）=cosC，
∵函数f（x）在（0，1）上为减函数，在锐角△ABC中，有f（sinA）＜f（cosC）．故④正确，
故选：B

点评本题主要考查命题的真假判断，涉及平面向量的基本定理，三角函数的奇偶性和单调性之间的关系，综合性较强，难度不大．