Question

如果函数f(x)的定义域为{x|x＞0}，且f(x)为增函数，f(x·y)＝f(x)＋f(y)．

(Ⅰ)求证：f()＝f(x)－f(y)；

(Ⅱ)已知f(3)＝1，且f(a)－f(a－1)＞2，求a的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)证明：∵f(x)＝f(·y)＝f()＋f(y)， 　　∴f()＝f(y)－f(x)　　4分 　　(Ⅱ)∵f(3)＝1，由条件f(x·y)＝f(x)＋f(y)，∴f(3)＋f(3)＝f(9)　　6分 　　∵f(a)－f(a－1)＞2，由(1)得f()＞f(9)． 　　∵f(x)是增函数，∴＞9　　10分 　　又a＞0，a－1＞0，∴1＜a＜． 　　∴a的取值范围是1＜a＜　　12分 　　综上