在直角坐标系xoy中.曲线C1的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$.以原点O为极点.x轴的正半轴为级轴.建立极坐标系.曲线C2的极坐标方程$ρsin=4\sqrt{2}$,(I)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程,(Ⅱ)设P为曲线C1上的动� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

9．在直角坐标系xoy中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为级轴，建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程$ρsin（θ+\frac{π}{4}）=4\sqrt{2}$；
（I）求曲线C₁的普通方程和曲线C₂的直角坐标方程；
（Ⅱ）设P为曲线C₁上的动点，求点P到曲线C₂上的距离的最小值的值．

分析（Ⅰ）曲线C₁的参数方程消去参数α，能求出曲线C₁的普通方程，曲线C₂的极坐标方程展开可得ρsinθ+ρcosθ=8，由此能求出曲线C₂的直角坐标方程．
（Ⅱ）设椭圆上的点P（$\sqrt{2}cosα，sinα$），利用点P到直线的距离公式及三角函数性质能求出点P到曲线C₂上的距离的最小值．

解答解：（Ⅰ）∵曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α为参数），
∴消去参数α，得曲线C₁的普通方程为：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．
∵曲线C₂的极坐标方程$ρsin（θ+\frac{π}{4}）=4\sqrt{2}$，
展开可得：$ρ×\frac{\sqrt{2}}{2}$（sinθ+cosθ）=4$\sqrt{2}$，即ρsinθ+ρcosθ=8．
∴曲线C₂的直角坐标方程为：x+y=8．…（5分）
（Ⅱ）∵P为曲线C₁上的动点，∴设椭圆上的点P（$\sqrt{2}cosα，sinα$），
点P到直线O的距离为d=$\frac{|\sqrt{2}cosα+sinα-8|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|\sqrt{3}sin（α+θ）-8|}{\sqrt{2}}$，
∴当sin（α+θ）=1时，点P到曲线C₂上的距离的最小值为d_min=$\frac{8\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$．…（10分）