Question

已知数列满足：数列满足．

(1)若是等差数列，且，求的值及的通项公式；

(2)若是等比数列，求的前项和；

(3)当是公比为的等比数列时，能否为等比数列？若能，求出的值；若不能，请说明理由．

Answer 1

解：（1）因为{a _n}是等差数列，a ₁=1,a ₂=a,所以a _n =1+（n–1）(a –1)

又b₃=12,所以a₃ a ₄=12，即（2a – 1）(3a – 2)=12，              

解得a=2或， 

因为a>0，所以a=2，从而a _n =n，………………………………4 分

（2）因为{a _n}是等比数列，a ₁=1, a ₂=a, 所以a _n = a ^{n – 1}，则b_n=a_na_n+1=a^{2 n – 1}

因为，所以数列是首项为a，公比为a ²的等比数列，（）

当a =1时，S_n=n；

当且a≠1时，；………………………8分

（3）数列{a _n}不能为等比数列，

因为b_n=a_na_n+1，所以，所以a ₃= a – 1，

假设数列{a _n}能为等比数列，由a ₁=1, a ₂=a, a ₃= a – 1，得 a ²= a – 1，

此时方程a ²= a – 1，无解，所以数列{a _n}一定不能为等比数列。……12分