Question

1．设△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量$\overrightarrow{m}$=（b，c-a），$\overrightarrow{n}$=（sinB-sinC，sinA+sinC），且$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$．
（1）求角A的大小；
（2）若a=2，c=4$\sqrt{3}$sinB，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$．得b（sinB-sinc）+（c-a）（sinA+sinC）=0⇒sinB（sinB-sinC）+（sinC-sinA）（sinA+sinC）⇒b²+c²-a²=bc，cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}=\frac{1}{2}$，即可求得A；
（2）由$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}，c=4\sqrt{3}sinB$，得到$\frac{sinB}{sinC}=\frac{1}{3}$，c=3b，由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA⇒4=b²+9b²-3b²，得b=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，c=$\frac{6\sqrt{7}}{7}$，即可求得ABC的面积s．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{m}$=（b，c-a），$\overrightarrow{n}$=（sinB-sinC，sinA+sinC），且$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$．
∴b（sinB-sinc）+（c-a）（sinA+sinC）=0⇒sinB（sinB-sinC）+（sinC-sinA）（sinA+sinC），
sin²B+sin²C-sin²A=sinBsinC，
⇒b²+c²-a²=bc，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}=\frac{1}{2}$，
∵A∈（0，π），∴A=$\frac{π}{3}$．
（2）由$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}，c=4\sqrt{3}sinB$，得到$\frac{sinB}{sinC}=\frac{1}{3}$，
∴$\frac{b}{c}=\frac{sinB}{sinC}=\frac{1}{3}$，∴c=3b．
由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA⇒4=b²+9b²-3b²，
∴b²=$\frac{4}{7}$，b=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，c=$\frac{6\sqrt{7}}{7}$，
∴△ABC的面积s=$\frac{1}{2}bcsinA=\frac{1}{2}×\frac{2}{\sqrt{7}}×\frac{6}{\sqrt{7}}=\frac{6}{7}$．

点评 本题考查了正余弦定理的应用，考查了转化思想、计算能力，属于中档题．