Question

4．某中学为了选拔优秀数学尖子参加本市举行的数学竞赛，先在本校甲、乙两个实验班中进行数学能力摸底考试，考完后按照大于等于90分（百分制）为优秀，90分以下为非优秀，统计成绩后，得到如下所示2×2列联表

	优秀	非优秀	总计
甲班	a=10	b=45	a+b=55
乙班	c=20	d=30	c+d=50
合计	a+c=30	b+d=75	105

附公式：${Χ^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$

P（x2＞k）	0.010	0.050	0.010	0.001
k	2.706	3.841	6.635	10.82

已知在全部105人中随机抽取1人为优秀的概率为$\frac{2}{7}$
（ I）请完成上面的列联表中未填数据，并按95%的可靠性要求，你能否认为学生的成绩与班级有关系？
（ II）若按分层抽样方法抽取甲、乙两班优秀学生9人，然后再选派3人参加市里的数学竞赛，记甲班优秀生被派出的人数为x，试求x的分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （I） 根据全部105人中随机抽取1人为优秀的概率为$\frac{2}{7}$，则优秀人数=$105×\frac{2}{7}$=30，可得c=30-10=20．∴c+d=50，
a+b=105-50=55，b=55-10=45．进而得出下表：根据列联表中的数据，得到K²．
（II）根据分层抽样可得：从甲班中应抽取人数=$\frac{10}{30}×9$=3，从乙班中应抽取人数=9-3=6．然后再选派3人参加市里的数学竞赛，记甲班优秀生被派出的人数为X，则X=0，1，2，3．P（X=k）=$\frac{{∁}_{3}^{k}{∁}_{6}^{3-k}}{{∁}_{9}^{3}}$．

解答 解：（I） 根据全部105人中随机抽取1人为优秀的概率为$\frac{2}{7}$，
则优秀人数=$105×\frac{2}{7}$=30，可得c=30-10=20．
∴c+d=50，
a+b=105-50=55，b=55-10=45．进而得出下表：

	优秀	非优秀	总计
甲班	10	45	55
乙班	20	30	50
合计	30	75	105

根据列联表中的数据，得到K²=$\frac{105×（10×30-20×45）^{2}}{55×50×30×75}$=6.109＞3.841．
因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”．
（II）根据分层抽样可得：从甲班中应抽取人数=$\frac{10}{30}×9$=3，从乙班中应抽取人数=9-3=6．然后再选派3人参加市里的数学竞赛，记甲班优秀生被派出的人数为X，则X=0，1，2，3．P（X=k）=$\frac{{∁}_{3}^{k}{∁}_{6}^{3-k}}{{∁}_{9}^{3}}$，可得P（X=0）=$\frac{20}{84}$，P（X=1）=$\frac{45}{84}$，P（X=2）=$\frac{18}{84}$，P（X=3）=$\frac{1}{84}$．可得X的分布列：

X	0	1	2	3
P	$\frac{20}{84}$	$\frac{45}{84}$	$\frac{18}{84}$	$\frac{1}{84}$

E（X）=0×$\frac{20}{84}$+1×$\frac{45}{84}$+2×$\frac{18}{84}$+3×$\frac{1}{84}$=1．

点评 本题考查了频数分布表、“列联表”、独立性检验计算公式、分层抽样、超几何分布列计算公式及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．