Question

19．设关于x的方程x²+2（1-m）x+m²-m=0有实数解．
（1）求m的取值范围；
（2）求两根之积的最大值或最小值．

Answer 1

分析 （1）关于x的方程x²+2（1-m）x+m²-m=0有实数解，得到△=4（1-m）²-4（m²-m）≥0，解得即可，
（2）根据二次函数的性质即可求出．

解答 解：（1）关于x的方程x²+2（1-m）x+m²-m=0有实数解，
∴△=4（1-m）²-4（m²-m）≥0，
解得m≤1，
故m的取值范围为（-∞，1]，
（2）设方程的两根为x₁，x₂，
则x₁•x₂=m²-m=（m-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，
所以（m-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$在（-∞，$\frac{1}{2}$）为减函数，在（$\frac{1}{2}$，1]为增函数
所以当m=$\frac{1}{2}$时，函数有最小值，最小值为-$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了恒成立的问题，以及参数的取值范围和二次函数的性质，属于基础题．