在圆中直径所对的圆周角是直角.有同学类比圆研究椭圆.把经过椭圆中心的弦叫做椭圆的直径．已知椭圆C:$\frac{{x}^{2}}{3}$+y2=1.AB是椭圆C的直径．(I )求椭圆C的离心率,(Ⅱ)该同学用几何画板在椭圆C上取了几个点．通过测量发现毎一个点与A.B连线的斜率之积不变．耶么对于椭圆上任意一点M.直线MA.MB的斜率之积是否为定值� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

3．在圆中直径所对的圆周角是直角，有同学类比圆研究椭圆，把经过椭圆中心的弦叫做椭圆的直径．已知椭圆
C：$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1，AB是椭圆C的直径．
（I ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）该同学用几何画板在椭圆C上取了几个点．通过测量发现毎一个点与A，B连线的斜率之积不变．耶么对于椭圆上任意一点M（M不与A，B重合），直线MA，MB的斜率之积是否为定值．若是．写出定值并证明你的结论；若不是请说明理由．
（III）O是坐标原点，M是椭圆上的一点且在第一象限．M关于原点的对称点为M′，E是x轴一点．△MOE是等等腰三角形．MO=ME，直线M′E与椭圆的另一个交点为N，求证：∠M′MN是直角．

分析（Ⅰ）求出椭圆的a，b，c，由e=$\frac{c}{a}$，计算可得；
（Ⅱ）直线MA，MB的斜率之积为定值-$\frac{1}{3}$．设M（m，n），A（s，t），B（-s，-t），代入椭圆方程，相减，再由直线的斜率公式，化简整理可得结论；
（III）设M（m，n）（m＞0，n＞0），M'（-m，-n），E（g，0），N（u，v），由题意可得k_MO+k_ME=0，求出E的坐标，直线M'E的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理，求得N的坐标，再由向量$\overrightarrow{M'M}$，$\overrightarrow{MN}$的数量积的坐标表示，化简整理，即可得证．

解答解：（Ⅰ）椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1的a=$\sqrt{3}$，b=1，c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
可得椭圆C的离心率为e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$；
（Ⅱ）直线MA，MB的斜率之积为定值-$\frac{1}{3}$．
理由：设M（m，n），A（s，t），B（-s，-t），
则$\frac{{m}^{2}}{3}$+n²=1，$\frac{{s}^{2}}{3}$+t²=1，
相减可得，$\frac{{m}^{2}-{s}^{2}}{3}$=-（n²-t²），
即有k_MA•k_MB=$\frac{n-t}{m-s}$•$\frac{n+t}{m+s}$=$\frac{{n}^{2}-{t}^{2}}{{m}^{2}-{s}^{2}}$=-$\frac{1}{3}$；
（Ⅲ）证明：设M（m，n）（m＞0，n＞0），M'（-m，-n），E（g，0），N（u，v），
由△MOE是等等腰三角形．MO=ME，可得k_MO+k_ME=0，
即为$\frac{n}{m}$+$\frac{n}{m-g}$=0，可得g=2m，即E（2m，0），
直线M'E：y=$\frac{n}{3m}$（x-2m），代入椭圆x²+3y²=3，
可得（1+$\frac{{n}^{2}}{3{m}^{2}}$）x²-$\frac{4{n}^{2}}{3m}$x+$\frac{4{n}^{2}}{3}$-3=0，
可得-m+u=$\frac{4m{n}^{2}}{{n}^{2}+3{m}^{2}}$，解得u=$\frac{5m{n}^{2}+3{m}^{3}}{{n}^{2}+3{m}^{2}}$，
v=$\frac{n}{3m}$（u-2m）=$\frac{n（{n}^{2}-{m}^{2}）}{{n}^{2}+3{m}^{2}}$，
则$\overrightarrow{M'M}$•$\overrightarrow{MN}$=（2m，2n）•（u-m，v-n）=2mu-2m²+2nv-2n²
=$\frac{2m（5m{n}^{2}+3{m}^{3}）}{{n}^{2}+3{m}^{2}}$-2m²+$\frac{2{n}^{2}（{n}^{2}-{m}^{2}）}{{n}^{2}+3{m}^{2}}$-2n²
=$\frac{8{m}^{2}{n}^{2}}{{n}^{2}+3{m}^{2}}$+$\frac{-8{m}^{2}{n}^{2}}{{n}^{2}+3{m}^{2}}$=0．
即有$\overrightarrow{M'M}$⊥$\overrightarrow{MN}$，
则∠M′MN是直角．