Question

8．在平面直角坐标系xOy中，设点P（x，5）在矩阵M=$[{\begin{array}{l}1&2\\ 3&4\end{array}}]$对应的变换下得到点Q（y-2，y），
求${M^{-1}}[{\begin{array}{l}x\\ y\end{array}}]$．

Answer 1

分析 由题意得到$\left\{\begin{array}{l}x+10=y-2\\ 3x+20=y\end{array}\right.$，从而求出x，y，再由逆矩阵公式求出矩阵M的逆矩阵，由此能求出${M^{-1}}[{\begin{array}{l}x\\ y\end{array}}]$．

解答 解：∵点P（x，5）在矩阵M=$[{\begin{array}{l}1&2\\ 3&4\end{array}}]$对应的变换下得到点Q（y-2，y），
∴依题意，$[{\begin{array}{l}1&2\\ 3&4\end{array}}]$$[{\begin{array}{l}x\\ 5\end{array}}]$=$[{\begin{array}{l}{y-2}\\ y\end{array}}]$，即$\left\{\begin{array}{l}x+10=y-2\\ 3x+20=y\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}x=-4\\ y=8\end{array}\right.$
由逆矩阵公式知，矩阵M=$[{\begin{array}{l}1&2\\ 3&4\end{array}}]$的逆矩阵${M^{-1}}=[{\begin{array}{l}{-2}&1\\{\frac{3}{2}}&{-\frac{1}{2}}\end{array}}]$，（8分）
∴${M^{-1}}[{\begin{array}{l}x\\ y\end{array}}]$=$[{\begin{array}{l}{-2}&1\\{\frac{3}{2}}&{-\frac{1}{2}}\end{array}}]$$[{\begin{array}{l}{-4}\\ 8\end{array}}]$=$[{\begin{array}{l}{16}\\{-10}\end{array}}]$．（10分）

点评 本题考查矩阵变换的应用，是中档题，解题时要认真审题，注意逆矩阵公式的合理运用．