Question

7．在△ABC中，∠A=2∠B，∠C的平分线交AB于点D，∠A的平分线交CD于点E．求证：AD•BC=BD•AC．

Answer 1

分析 证明△ACD～△BCD，所以$\frac{AE}{BD}=\frac{AC}{BC}$，即AE•BC=BD•AC，证明AD=AE，即可证明结论．

解答 证明：因为∠CAB=2∠B，AE为∠CAB的平分线，所以∠CAE=∠B，
又因为CD是∠C的平分线，所以∠ECA=∠DCB，
所以△ACD～△BCD，所以$\frac{AE}{BD}=\frac{AC}{BC}$，即AE•BC=BD•AC，
又因为∠AED=∠CAE+∠ECA，∠ADE=∠B+∠DCB，
所以∠AED=∠ADE，所以AD=AE，
所以AD•BC=BD•AC．

点评 本题主要考查与圆有关的比例线段和相似三角形的判定，证明乘积式的问题可转化证明比例式，最终转化为证明两个三角形相似得到．