Question

3．如图：有一人在∠EOF=60°的V型码头内位于P点的一艘船上，要想到达O地上岸，现有三种方案：
①自P直接航行到O；
②自P与OE垂直航行到A点登陆，再由陆路乘车直达O；
③自P与OF垂直航行到B点登陆，再由陆路乘车直达O；
现已知陆路车速为船速的2倍，PA=2km，PB=5km，问：选择哪种方案用时最省？并通过计算加以说明．

Answer 1

分析 设∠PAO=α，分别在△OAP和△OBP中根据正弦函数的定义表示出OP，列出方程解出tanα，从而得到OA，OB，OP的距离，设船速为V，用V表示出三种方案所用时间，表较大小得出最佳方案．

解答 解：设∠PAO=α，则∠POB=60°-α．
∴PO=$\frac{PA}{sinα}=\frac{PB}{sin（60°-α）}$，即$\frac{2}{sinα}=\frac{5}{\frac{\sqrt{3}}{2}cosα-\frac{1}{2}sinα}$，
∴$\sqrt{3}cosα$=6sinα．
∴tanα=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
∴OA=$\frac{PA}{tanα}$=4$\sqrt{3}$，∴OP=$\sqrt{P{A}^{2}+O{A}^{2}}$=2$\sqrt{13}$．OB=$\sqrt{O{P}^{2}-P{B}^{2}}$=3$\sqrt{3}$．
设船速为v，则陆路车速为2v，
（1）若按方案①行进，则所用时间t₁=$\frac{OP}{v}$=$\frac{2\sqrt{13}}{v}$．
（2）若按方案②行进，所用时间t₂=$\frac{PA}{v}+\frac{OA}{2v}$=$\frac{2+2\sqrt{3}}{v}$．
（3）若按方案③行进，所用时间t₃=$\frac{PB}{v}+\frac{OB}{2v}$=$\frac{5+\frac{3}{2}\sqrt{3}}{v}$．
∵2$\sqrt{13}$＞6，2+2$\sqrt{3}$＜6，5+$\frac{3}{2}\sqrt{3}$＞6，
∴t₂＜t₁，t₂＜t₃．
∴方案②用时最省．

点评 本题考查了三角函数的定义，解直角三角形的应用，属于中档题．