Question

如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，，⊥底面．

(1)证明：平面平面；

(2)若二面角为，求与平面所成角的正弦值．

 

Answer 1

（1）证明过程详见解析；(2).

【解析】

试题分析：(1)可以遵循思路面面垂直线面垂直线线垂直,即证明面面垂直只需要证明其中一个面里面的一条直线垂直与另外一个面即可,即证明面PDB,线面垂直只需要证明BC与面内相交的两条直线垂直即可,即BD, PD,前者可有三角形的勾股定理证得，后者由线面垂直得到

(2)求线面夹角可以利用三维空间直角坐标系,分别以DA,DB,PD三条两两垂直的直线建立坐标系,求面法向量与直线的夹角的余弦值的绝对值即为线面夹角的余弦值.

试题解析：

(1)∵∴

又∵⊥底面∴

又∵∴平面

而平面 ∴平面平面 5分

(1)由（1）所证，平面 ,所以∠即为二面角P-BC-D的平面角，即∠

而，所以 7分

分别以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系．则，，， ,所以，，，,设平面的法向量为，则,即可解得∴与平面所成角的正弦值为 12分

考点：面面垂直 线面夹角