Question

14．已知a∈R，函数f（x）=ax+lnx，g（x）=$\frac{1}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{ex}$（e为自然对数的底数）．
（1）若a=-e²，求函数f（x）的极值；
（2）若a=-1，求证：当x＞0时，f（x）＞g（x）-x恒成立．

Answer 1

分析 （1）求得f（x）的导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，进而得到所求极值；
（2）要证原不等式成立，即证xlnx＞$\frac{x}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{e}$在x＞0恒成立．设m（x）=xlnx，n（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{e}$，求得导数和单调区间，可得最值，比较大小，即可得证．

解答 解：（1）函数f（x）=-e²x+lnx（x＞0）的导数为f′（x）=-e²+$\frac{1}{x}$=-$\frac{{e}^{2}（x-\frac{1}{{e}^{2}}）}{x}$，
当x＞$\frac{1}{{e}^{2}}$时，f′（x）＜0；当0＜x＜$\frac{1}{{e}^{2}}$时，f′（x）＞0．
即有f（x）在（0，$\frac{1}{{e}^{2}}$）递增，在（$\frac{1}{{e}^{2}}$，+∞）时，f（x）递减．
可得f（x）在x=$\frac{1}{{e}^{2}}$处取得极大值-1+ln$\frac{1}{{e}^{2}}$=-3，无极小值；
（2）证明：a=-1时，要证当x＞0时，f（x）＞g（x）-x恒成立，
即证-x+lnx＞$\frac{1}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{ex}$-x，即为xlnx＞$\frac{x}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{e}$在x＞0恒成立．
设m（x）=xlnx，m′（x）=1+lnx，当x∈（0，$\frac{1}{e}$）时，m′（x）＜0，m（x）递减；
当x∈（$\frac{1}{e}$，+∞）时，m′（x）＞0，m（x）递增．
可得m（x）在x=$\frac{1}{e}$处取得极小值，且为最小值-$\frac{1}{e}$；
设n（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{e}$，n′（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$，当x∈（0，1）时，n′（x）＞0，n（x）递增；
当x∈（1，+∞）时，n′（x）＜0，n（x）递减．
可得n（x）在x=1处取得极大值，且为最大值$\frac{1}{e}$-$\frac{2}{e}$=-$\frac{1}{e}$．
由于最值不同时取得，即有xlnx＞$\frac{x}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{e}$在x＞0恒成立．
则当x＞0时，f（x）＞g（x）-x恒成立．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用构造函数法，求得单调区间和最值，考查化简整理的运算能力，属于中档题．