Question

2．已知f（x）=2+log₂x，x∈[1，4]，求y=f²（x）+f（x²）的值域．

Answer 1

分析 先确定函数y=f²（x）+f（x²）的定义域，再运用换元和配方及二次函数的图象和性质求该函数的值域．

解答 解：∵f（x）的定义域为[1，4]，
∴函数y=f²（x）+f（x²）的自变量需x满足：
$\left\{\begin{array}{l}{1≤x≤4}\\{1≤x^2≤4}\end{array}\right.$，解得x∈[1，2]，
记t=log₂x∈[0，1]，因此，
y=g（t）=f²（x）+f（x²）=（2+t）²+2+2t
=t²+6t+6=（t+3）²-3，
当t∈[0，1]时，函数g（t）单调递增，所以，
y_max=g（1）=13，此时x=2，
y_min=g（0）=6，此时，x=1，
因此函数的值域为[6，13]．

点评 本题主要考查了复合函数的定义域及值域的求法，涉及二次函数的图象和性质，属于中档题．