Question

是否存在a、b使函数f(x)=

ax+b

x

的图象关于直线y=x对称，若不存在，请说明理由；若存在，求出a、b的值．

Answer 1

分析：本题是研究存在性的探索性问题，属于开放性题目，解题的切入点就是：假设满足条件的a、b是存在的，然后按存在去求，求出了自然就是存在的，求不出来自然是不存在，过程就是最好的理由，本题同时考查反函数的求法．

解答：解：假设满足条件的a，b存在，
可设y=

ax+b

x

，解x得：x=

b

y-a

，
将x，y交换得：y=

b

x-a

∵函数f(x)=

ax+b

x

的图象关于直线y=x对称
∴函数y=

ax+b

x

和y=

b

x-a

同一函数，
则a=0，b∈R且b≠0为所求
所以满足条件的a，b存在，且a=0，b为不等于零的任意实数．

点评：此题的解题过程重点还是根据已知条件求反函数，在求出反函数后注意两个解析式的对照，这是获得准确结果的重要环节，本题还要注意b的取值，容易忽视b≠0．