Question

18．已知函数f（x）=$\frac{{2}^{x}-{3}^{x}}{{2}^{x}}$，数列{a_n}的前n项和为S_n，对任何正整数n，点（n，S_n）都在y=f（x）的图象上．
（1）求a₁的值；
（2）当n≥2时，求a_n；
（3）求证：{a_n}是等比数列．

Answer 1

分析 （1）把点代入得到S_n=1-（$\frac{3}{2}$）ⁿ，令n=1，即可求出答案，
（2）根据数列的递推公式即可得到a_n=-$\frac{1}{2}$•（$\frac{3}{2}$）^n-1，
（3）利用等比数列的定义即可证明．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{{2}^{x}-{3}^{x}}{{2}^{x}}$=1-（$\frac{3}{2}$）^x，数列{a_n}的前n项和为S_n，对任何正整数n，点（n，S_n）都在y=f（x）的图象上，
∴S_n=1-（$\frac{3}{2}$）ⁿ，
当n=1时，a₁=S₁=1-（$\frac{3}{2}$）¹=-$\frac{1}{2}$，
（2）∵S_n=1-（$\frac{3}{2}$）ⁿ，
∴S_n-1=1-（$\frac{3}{2}$）^n-1，n≥2，
∴a_n=S_n-S_n-1=-$\frac{1}{2}$•（$\frac{3}{2}$）^n-1，
（3）由（2）可知，当n=1时也成立，
∴a_n=-$\frac{1}{2}$•（$\frac{3}{2}$）^n-1，
∴a_n-1=-$\frac{1}{2}$•（$\frac{3}{2}$）^n-2，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{3}{2}$，
∴{a_n}是等比数列

点评 本题考查了递推式的应用、等比数列通项公式、数列的函数特征，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．