Question

16．已知f（x）=-2acos²x一2$\sqrt{2}$asinx+3a+b的定义域为[0，$\frac{π}{2}$]，值域为[-5，1]，求实数a，b的值．

Answer 1

分析 对f（x）配方化简f（x），根据x的范围判断f（x）的最大值和最小值，列出方程组解出．

解答 解：f（x）=-2a（1-sin²x）-2$\sqrt{2}$asinx+3a+b=2asin²x-2$\sqrt{2}a$sinx+a+b=2a（sinx-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²+b．
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴0≤sinx≤1．
（1）若a＞0，则当sinx=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，f（x）取得最小值b，当sinx=0时，f（x）取得最大值a+b．
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=-5}\\{a+b=1}\end{array}\right.$，解得a=6，b=-5．
（2）若a＜0，则当sinx=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，f（x）取得最大值b，当sinx=0是，f（x）取得最小值a+b．
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{a+b=-5}\end{array}\right.$，解得a=-6，b=1．（舍去）
（3）当a=0时，f（x）为常数函数，不符合题意．
综上，a=6，b=-5．

点评 本题考查了三角函数的性质，二次函数的最值，换元法思想，属于中档题．