Question

4．已知f（x）=a^x（a＞0，a≠1），g（x）是f（x）的反函数．
（1）若y=2x与g（x）相切，求a的值；
（2）若x＞0时，f（x）＞g（x）恒成立，求实数a的范围．

Answer 1

分析 （1）g（x）=log_ax，设切点（x₀，y₀），则根据切线与导数的关系列出方程组解出a．
（2）由f（x）和g（x）关于y=x对称可知，当f（x）＞x恒成立时，g（x）＜x恒成立，即f（x）＞g（x）恒成立．令h（x）=a^x-x，令h_min（x）＞0解出．

解答 解：（1）g（x）=log_ax，g′（x）=$\frac{lo{g}_{a}e}{x}$，设y=2x与g（x）相切于点（x₀，y₀），则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{lo{g}_{a}e}{{x}_{0}}=2}\\{{y}_{0}=2{x}_{0}}\\{{y}_{0}=lo{g}_{a}{x}_{0}}\end{array}\right.$，解得a=e${\;}^{\frac{1}{2e}}$．
（2）∵f（x）与g（x）互为反函数，∴f（x）与g（x）的图象关于y=x对称，
∵x＞0时，f（x）＞g（x）恒成立，∴当f（x）＞x恒成立时，g（x）＜x恒成立，且a＞1．
令h（x）=f（x）-x=a^x-x，则h′（x）=a^xlna-1，令a^xlna-1=0，则a^x=$\frac{1}{lna}$=log_ae．∴x=log_a（log_ae）．
当0＜x＜log_a（log_ae）时，h′（x）＜0，当x＞log_a（log_ae）时，h′（x）＞0，
∴h_min（x）=h（log_a（log_ae））=log_ae-log_a（log_ae）=log_a（$\frac{e}{lo{g}_{a}e}$）．
∵f（x）＞x在（0，+∞）上恒成立，∴h_min（x）＞0，即log_a（$\frac{e}{lo{g}_{a}e}$）＞0．∴$\frac{e}{lo{g}_{a}e}$＞1，即0＜log_ae＜e，∴e＜a^e，∴a＞e${\;}^{\frac{1}{e}}$．
∴实数a的范围是（e${\;}^{\frac{1}{e}}$，+∞）．

点评 本题考查了导数的几何意义，导数与函数的单调性和最值，函数恒成立问题，属于难题．